Dynamic Additively Weighted Voronoi Diagrams in 2D

In this paper we present a dynamic algorithm for the construction of the additively weighted Voronoi diagram of a set of weighted points on the plane. The novelty in our approach is that we use the dual of the additively weighted Voronoi diagram to represent it. This permits us to perform both insertions and deletions of sites easily. Given a set B of n sites, among which h sites have non-empty Voronoi cell, our algorithm constructs the additively weighted Voronoi diagram of B in O(nT (h) + h log h) expected time, where T (k) is the time to locate the nearest neighbor of a query site within a set of k sites with non-empty Voronoi cell. Deletions can be performed for all sites whether or not their Voronoi cell is empty. The space requirements for the presented algorithm is O(n). Our algorithm is simple to implement and experimental results suggest an O(n log h) behavior. Key-words: additively weighted Voronoi diagram; Delaunay graph; dual graph; dynamic algorithm Work partially supported by the IST Programme of the EU as a Shared-cost RTD (FET Open) Project under Contract No IST-2000-26473 (ECG Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces). ∗ INRIA Sophia-Antipolis, Project PRISME, 2004 Route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France, email: [email protected] † INRIA Sophia-Antipolis, Project PRISME, 2004 Route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France, email: [email protected] Diagrammes de Voronoi Additifs Dynamiques en 2D Résumé : Ce rapport décrit un algorithme dynamique pour construire le diagramme de Voronoï à poids additifs d’un ensemble de points pondérés du plan. L’algorithme proposé représente le diagramme à poids additif à travers son dual. Il est incrémental et pleinement dynamique, c’est à dire permet l’insertion ou la suppression de sites. Une analyse randomisée sur l’ordre d’insertion montre que l’algorithme construit le le diagramme de Voronoï à poids additifs d’un ensemble de n sites parmi lesquelles h ont une cellule de Voronoi non vide, en temps moyen O(nT (h)+h logh) où T (k) est le temps nécessaire pour répondre à une requête de plus proche voisin (pour une distance à poids additifs) sur un ensemble de k sites à cellules non vides. L’espace mémoire utilisé est O(n). L’algorithme est simple à implémenter et une étude expérimentale laisse présumer un comportement asymptotique en O(n log h). Mots-clés : diagramme de Voronoï; triangulation de Delaunay; diagramme de Voronoï à poids additifs; algorithme dynamique Dynamic additively weighted Voronoi diagrams in 2D 3